如何让小小的事物变得引人注目

日常生活和工程技术中，有很多减小摩擦力的方法，例如以滚动替代滑动、润滑油、气垫导轨和磁悬浮等等。

但若问你，该如何有效的增大摩擦力呢？

根据库伦摩擦力模型，固体摩擦力由接触面的摩擦系数和正压力的乘积决定。所以，要想增大摩擦力，一方面可以考虑将接触面做得更粗糙，另一方面，只要拼命加码就行了，压力山大，摩擦力自然就大了！

注意，既然摩擦力与接触面积无关，所以一般情况下，不要想着通过增加接触面积来增大摩擦力。一条铁链展开平放与堆成一坨放在地上，其摩擦力没有区别。

有人给出如下图所示的情形，这是否说明摩擦力与面积有关呢？留给各位思考一下吧。

不过，若你的对象是两块板，那么，若能将接触面内空气排干，使两者无缝粘合，这时候大气压会帮忙，因为压力等于压强乘以面积，这会导致很大的压力，进而增大摩擦力。

另一方面，根据摩擦力的粘附说，如果你能将两块固体板的接触面做得足够光滑，并且清除表面污染，它们之间也会产生很大的摩擦力。

但假若你的料就只有那么一点，轻飘飘的，偏偏又想使劲贴住不被拉走，有什么办法呢？

用胶黏住应该算是一种方法。除此之外，还有其他的纯物理方法吗？

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一类常见的经验

你应该经常看到过，为了拉紧绳子，人们将绳子的两头绕在一根柱子上，只要多绕上几圈，即使两端并未打结固定，这绳子似乎就完全绷紧了，晾上一一堆衣服和被子之后，绳子还是直挺挺的。

船即将触岸的瞬间，船主将一根粗大的铁链往那岸上的柱子一掷，待链子绕着柱子缠绕数圈之后，船就被拉住了，船上的人便可上岸了。

还有机器通过皮带传动轮子，这个摩擦力也是非同小可。

显然，这里面起作用的是绳子（或皮带）与它所缠绕的柱体表面之间的摩擦力。那么，为什么仅凭绕上几圈，就能产生这么大的摩擦力，从而提供如此大的作用力呢？

为了回答这个问题，我们从中学物理中的滑轮讲起。
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从最简单的滑轮讲起

我们经常见到这种问题：一根不可伸长的轻绳跨过一个定滑轮，两端各吊一重物，质量分别为和，要求绳子上的拉力。

这个问题具体如何讨论，取决于轮子的情况：轮子是否是轻滑轮？轮子表面是否有摩擦？

如果轮子轻质，那么轮子的运动不会造成影响，绳子的拉力处处相同。

但若轮子有质量，就要进一步看轮子表面是否有摩擦——虽然，对定滑轮来说，一般默认表面是有摩擦力的。

若轮子表面光滑，那么绳子将绝对打滑，轮子不会被带动，绳子的拉力依旧处处相同。

若轮子表面粗糙，为了简单起见，假设不打滑。由于轮子有质量，轮子在摩擦力的带动下发生的转动不可忽略，这涉及刚体力学。

下面来简单的分析一下。

如下图，设轮子的半径为，质量为，设比大。

很多人的做法是，绳子由于受到摩擦，在不打滑的情况下，绳与轮子保持相对静止，因此可以把绳与轮子看成一个整体。由于是轻绳，故该系统质量仍为。

如此一来，图中所示的拉力和就直接作用在这个整体上，它们的力矩使整体作顺时针的加速转动。根据转动定律，其中 为转动惯量 ，可知

由于绳子不可伸长，两质点加速度大小相同，根据牛顿第二定律有由于绳子不打滑，故轮子的角加速度与质点的加速度之间满足
联立以上各式可得拉力和的值，此处略。
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摩擦力等于拉力差

以上做法当然是对的。

但有一个问题：为什么滑轮所受力矩由拉力和产生？难道不应该是摩擦力吗？

对此，大多数人的观点是：因为绳没有滑动，所以可把绳和轮子当作一个整体，作为内力的静摩擦力，其作用完全可忽略——它就好像是刚体内部的原子分子的相互作用一样，当然可忽略！

记住，作为内力的静摩擦力，既不做功，也不改变系统动量，就像刚体内的力一样，对系统来说，它什么也没干。

但如果我想知道这里面的摩擦力，可不可以呢？

当然可以！

将绳子从系统中拿掉后，系统只剩下轮子了，它受到四种力的作用：重力、轴上的力、绳子施加的压力和摩擦力。

看看这四个力：前面两个作用在转轴处，力矩为零；来自绳子的压力，处处都沿法线方向，力矩也为零；只剩下绳子的摩擦力了，它处处沿切向，因此处处都贡献力矩。

设某点摩擦力为，它的力矩为，由于所有点的摩擦力矩都沿一个方向，所以合力矩为轮子边缘各点受到的摩擦力的大小之和当然就是轮子受到的摩擦力，即注意这里的求和不是矢量和，是大小之和！

不知道你意识到没有，这里的 有点怪，它是各种方向连续变化的微元摩擦力按大小累加起来得到的一种量。

根据转动定律有

但问题是，题目要求的是拉力，摩擦力如何与拉力联系起来？

相比之前的系统，只是绳子被拿掉了，但由于是轻绳，拿走绳子后转动惯量不变，所以仍成立。对比上面二式，可知你可能觉得：这个结论不是显而易见的吗？何必非此周折得到？！

确实！若利用微元法分析，也可得此结论。

考虑绳上一段，它两端受拉力分别为和，它受摩擦力为，如下图所示

由于这一小段质量为零，根据牛顿第二定律必有上式右边是相邻两点之间的拉力增量，很显然，如果我们把所有这些增量都加起来，那不就绳子两端拉力之差嘛！所以，只要将上式对全部点求和，就得到关系式。

总之，绕过定滑轮的绳子，两端的拉力差就是轮子所受到的总摩擦力。

上述推理过程中，并未对绳子绕过的角度有任何限定，因此这个结论是适用于绳绕轮子任意角度的情况，例如像这样。

甚至像下面这样，缠绕好几道的情况，也是如此。

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为什么摩擦力这么大？

现在回头看本文开头给出的问题：为什么多次绕过一个圆形柱体的绳子，一端只需要小小的拉力，就可以在另一端产生巨大的拉力？

根据上面分析结果，应该是摩擦力填补了这两个拉力之间的巨大差值！换句话说，绕过圆柱体的绳子能产生巨大的摩擦力！

那么，到底这个摩擦力具有什么样的规律，竟会如此之大呢？

为了找到这里面的规律，将绕过滑轮的绳子看成由无数个小球连接而成的，如下图所示，绳子绕过滑轮形成的角为 ——称之为包角。设有相切的两个小球，A和B代表它们的球心。O代表滑轮的中心。AO和BO之间的夹角为。

设A处受到的拉力为，而B处的拉力为，这两个拉力分别都沿着各自所在位置的切向。它们的的交点为C。根据几何关系可知，AB与AC以及BC的夹角都为。因此这两个拉力在C点沿法向的分量之和为这个值正是滑轮在C点正下方所受的正压力。而当时，故上式为上式第二项由于是两个无穷小相乘，属于高阶无穷小，故忽略。将剩余的无穷小写成微分形式，上式就是该正压力所导致的最大静摩擦力为要保持绳子不滑动，最大静摩擦力应不小于拉力差，即所以有也就是将上式两边从绳子与滑轮相切的一端开始，一直积分到另一端的切点，得到故得 这个规律是著名数学家欧拉首次提出的。