魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯函数是一个( )的函数-）

今天跟大家分享一下魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯函数是一个( )的函数?）,以下是这个问题的总结，希望对你有帮助，让我们看一看。引言

函数(function)是我们初中就开始接触的一个数学概念，也是高中阶段最核心的数学概念之一，我们通常用f(x)来表示一个函数。上了大学之后，我们会更加深入地研究函数的连续性，可微性，可导性等问题。但是对于绝大多数的同学，平时所接触的函数都只是所谓的初等函数。初等函数，指的是由5大类基本初等函数：

幂函数(power function)，指数函数(exponential function)，对数函数(logarithmic function)，三角函数(trigonometric function)和反三角函数(inverse-trigonometric function)

经过有限次加减乘除与复合所得到的函数。比如我随手写一个函数：

十九世纪数学圣地——哥廷根大学

长久以来，人们只是把函数理解为两个变量之间的变化关系，并且通常用一个表达式来表示。1837年，狄利克雷突破了这个框架，认为函数就是集合中两个元素的对应关系，而不必非得有一个表达式，于是提出了函数就是x与y之间的一种对应关系的现代观点。我们现在教科书上的关于函数的定义，基本上就是沿袭了这种观点。

狄利克雷函数处处不连续

意思是所有的点都是间断点。我们在高等数学里面学过，函数f(x)在x=a处连续的定义是函数在该点的极限值等于该点的函数值，即它要满足

不满足的话，则是不连续的。我们就拿这个定义来检验一下狄利克雷函数。当a无论取何值时，在a的任意一个小的邻域内，都有无数多个有理点和无数多个无理点，有理点处函数值为1，无理点处函数值为0，因此在a的左边和右边函数都是无穷震荡的，所以x趋近a是f(x)的极限不存在，也就更无法等于f(a)了，因此是不连续的。因为a是任意取的一个值，所以狄利克雷函数在任意一点都是不连续的。

狄利克雷函数处处不可导

我们高中时都学过，可导一定连续，连续不一定可导，并且不连续一定不可导，狄利克雷函数在任意一点都不连续，因此它在任意一点都不可导。

这里顺便提一下，狄利克雷函数处处不可导，是因为处处不连续。不连续导致不可导，这没什么大不了的，但在1872年，被誉为“近代分析之父”的德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)构造出了一个处处连续但无处可导的函数，又进一步颠覆了人们对导数概念的理解，这是后话。

右边这个极限如果存在，则称f(x)在[a,b]上是可积的，极限如果不存在则称为不可积。

事实上，想构造出一个不可积的函数非常地困难。回想一下你在高等数学里面接触过的所有有界函数，其实都是在闭区间上可积的。而不可积的函数则只能从“病态函数”里面寻找，狄利克雷函数就是其中一个最典型的例子。

黎曼和与定积分示意图

上面三条就是狄利函数所具有的，而你在初等函数中又无法看到的诡异的性质。狄利克雷函数可以说是最简单的一类病态函数，以它为思想我们可以构造出很多其他类型的病态函数，比如说我们可以把0和1变成任意两个不同的数：

小伙伴们可以思考一下，为什么它就表示狄利克雷函数。

发展

狄利克雷函数的发现在20世纪有了更为重大的意义。20世纪初，法国数学家勒贝格(Lebesgue，1875-1941)通过对传统积分理论的研究，提出了一种新的定积分理论——勒贝格积分。他发现，勒贝格积分是比传统的定积分更为进步的积分，它囊括了更多的函数形式，而狄利克雷函数就是一个最典型的在传统意义下不可积，但却是勒贝格可积的函数。用更专业的语言来讲，勒贝格积分是传统积分理论的完备化，它使得人们对函数与积分的认识更上一层楼，而勒贝格积分也取代了传统的定积分理论，成为当代数学研究里面通用的积分理论。而如果想要学习勒贝格积分，就需要进一步学习测度论，这将又是一个很漫长的过程。

最后，就拿勒贝格大神的照片来镇楼吧！相信每个学习过实变函数的人看到这张照片的人都会瑟瑟发抖。

参考文献

[1] 《高等数学》，第七版，同济大学数学系，北京，高等教育出版社

[2] 《数学分析（下册）》，第三版，华东师范大学数学系，北京，高等教育出版社

[3] Calculus, early transcendentals, 7ed, James Stewart, Brook/COLE

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