哪个图形边角，数学笔记：几何初步，三角形的边角关系、全等、相似与位似

线和角

基本事实 :

两点确定一条直线。
两点之间线段最短。

直线

连接两点间的线段的长短，叫做这两点的距离。

角

∠a+∠b=90° ，两角互为余角。

∠c+∠d=180° ，两角互为补角。

余角和补角

作角的平分线

角的平分线上的点到角的两边距离相等。

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

角平分线例题

几何初步

平行线

在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行(平行公理）。

如果b//a、c//a，那么b//c 。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

邻补角，对顶角，同位角，内错角，同旁内角

左图中，∠1和∠2互为邻补角，∠1和∠3互为对顶角，右图中，如果直线AB//CD，那么∠3和∠7为同位角，∠3和∠5为内错角，∠3和∠6为同旁内角。

平行线判定:

同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。

平行线的性质:

两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

平行线分线段成比例的基本事实：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

平行线分段成比例

相交与平行

最短路径问题

如图所示，从点A先到直线l再到点B的最短路径分析图 :

轴对称性质分析

造一座桥使点A到点B的距离最短图解 :

造桥选址

轴对称，平移，分析图

三角形的边角关系

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”。

三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。

高和角平分线

中线和重心

三角形内角和定理:三角形三个内角和等于180° 。

三角形内角和验证

直角三角形的两个锐角互余。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。

三角形的外角

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。三角形的外角和等于360° 。

多边形的内角和、外角和

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

四边形内角和证明

n边形内角和公式: (n-2)×180°

例: 在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？

六边形

解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°。因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180° 。

这个总和就是六边形的外角和加上内角和。所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于

6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°

多边形的外角和等于 360 °

三角形

等腰三角形

等腰三角形的性质:

性质1 : 等腰三角形的两个底角相等 (“等边对等角”）；

性质2 : 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 (“三线合一”)。

等角对等边例题

等腰三角形的判定:

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(“等角对等边”)。

等腰三角形尺规作图

等边三角形

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 。

三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

三角形中边与角的不等关系

全等三角形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

全等用符号“ ≌ ”表示，读作“全等于”。

图形的平移，翻折，旋转

全等三角形的性质: 对应边相等，对应角相等。

全等三角形的判定:

ASA SSS SAS AAS HL

全等三角形例题

全等三角形

相似三角形

相似

把形状相同的图形叫做相似图形。相似图形可以看做是图形的放大和缩小。

相似多边形的对应角相等，对应边成比例。对应边的比叫做相似比。

相似三角形的判定

两个三角形三个角分别相等，三条边成比例，则这两个三角形相似。相似比为k，相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。△ABC 与△A'B'C'相似记作“△ABCc△A'B'C'”。

由平行线分段成比例的基本事实可得，平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

平行线分段成比例

判定三角形相似的定理:

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三边成比例的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
两角分别相等的两个三角形相似。
如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。

直角三角形相似的证明

相似三角形的性质:

相似三角形的对应角相等，对应边、对应高、对应中线与对应角平分线成比例，都等于相似比(相似三角形对应线段的比等于相似比)。

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

位似

两个相似的多边形，对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行的两个多边形叫做位似图形，这点叫做位似中心。利用位似，可以将一个图形放大或缩小。

位似

在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转(中心对称)。类似地，位似也可以用两个图形坐标之间的关系来表示。

坐标系中的位似

相似与位似

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