博弈论案例分析（博弈论案例分析论文）

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风险管理和不确定性是金融行业的核心。如何认识风险、衡量风险以及权衡其带来的后果，让未来服务于当下，就显得尤为重要了。

来源：申万宏源宏观

管理风险的能力及风险承担与前瞻性选择的偏好，是驱动经济系统前进力量的关键因素。社会和群体行为难以预测时，思潮倾向于人的不理性；和平年代更倾向于“看不见的手”的选择机制，敢于对于不确定性进行统计概率上的量化，将风险理解为概率上的确定性。因此也形成了一对从未解决的矛盾：一方是基于对不确定的未来更大程度上的主观信仰；而另一方坚持认为最好的决策是以由过去模式决定的限制和数据为基础的度量问题。

度量和实质之间的平衡是整个风险故事的焦点。第一步是设计度量技术，它能用来决定在不确定的未来中多大程度地隐藏着有序的成分。帕斯卡和费马解决了概率的度量，葛兰特的抽样调查和哈雷的人口研究，伯努利引入了预期效用，贝叶斯得出历史数据基础上的事后概率，以及高斯的概率的分布和高尔顿的均值回归等等进一步解决了人们如何认识概率，如何应对概率，这最终是有关风险管理及决策制定的重大问题。

不确定性是奈特和凯恩斯洞悉人类本性中的不理性的结果。将社会科学进行与自然科学同等程度量化的运动趋势愈发强大，生活中越来越多的方面被量化了，自然科学中的词汇逐渐被应用到了经济领域中。而奈特的不可知论认为，预测过程的困难不仅仅是无法将数学的命题应用到预测未来中去。凯恩斯提出了与放任主义政策截然不同的行动方针：政府所扮演的角色更加积极，不仅仅是用政府的需求来替代日益减少的个人需求，而是要广泛减少经济的不确定性。

大自然的反复无常已经不那么重要，反而是人类的决定更加至关重要。博弈论认为不确定性的真正起源来自于他人的意图中。1950、60年代，对于理性的深入研究又重新开展起来。人们对于理性的研究、对于度量的研究以及在预测中对于数学应用的研究产生了极大热情。纽曼和摩根斯坦已经量化了效用，马科维茨则开始量化投资风险。衍生交易的产品是不确定性本身，只有在波动的环境中才有价值。随着文明的发展，大自然的反复无常已经不那么重要，反而是人类的决定更加至关重要。

一、风险来自不确定性

风险管理和不确定性是金融行业的核心。我们曾细致地研究过索罗斯反身理论，索罗斯本人也认为金融市场上未必可以有效地实施，正如他指出的人的认知不完美一样，存在相当多的缺陷，这也是理论家一贯的悲叹。但是这个角度给我们提供了一个认识风险，制定决策的框架。认知的缺陷，不仅存在于对大自然客观规律的认识。随着人类文明的进步，更多的不确定性来自于人的活动。管理风险的能力及风险承担与前瞻性选择的偏好，是驱动经济系统前进力量的关键因素。

认识的不完美和人的理性假设密切相关。在动荡变革的时代，社会和群体行为难以预测时，思潮倾向于人的不理性，所谓的“动物精神”，进而缩小个人选择的范围而扩大公共选择的边界。与之对应的，镀金年代更倾向于“看不见的手”的选择机制，敢于对不确定性进行统计概率上的量化，将风险理解为概率上的确定性。因此也形成了一对从未解决的矛盾：一方是基于对不确定的未来更大程度上的主观信仰，或者说可信度，信心度，是本质问题；而另一方坚持认为最好的决策是以由过去模式决定的限制和数据为基础的，或者说是度量问题。

出于对风险和不确定性问题的兴趣，我们从彼得˙伯恩斯坦的《与天为敌》开始梳理。从掷骰子开始的概率论到股权定价的BS公式，在探索风险管理的过程中，人类的知识连接性十分的惊人，数学和经济学学科发展的协同性也同样的惊人，这可能也是近现代史上经济学家的优越感的源泉。

风险这个词来自于古意大利语risicare，意为害怕。从这个意义上讲，与其说风险是一种命运，不如说是一种选择。“害怕”采取行动——它依赖于我们做选择时有多大的自由度和所掌握信息的多少。风险管理的本质是就是把我们对结果有所控制的领域最大化，而把我们完全不能控制结果和我们弄不清因果联系的领域最小化。事实上，随着文明的发展，大自然的反复无常已经不那么重要，反而是人类的决定更加至关重要。

哈姆雷特抱怨说，面对不确定的结果时太多的犹豫不决是不利的，因为决策的本质特色会被不断的思考削弱。哈姆雷特错了，犹豫不决的人是在采取妥协方案。只要我们一采取行动，我们就丧失了等待新信息出现的机会。这样，不采取行动本身也具有价值。结果的不确定性越大，延迟行动的价值也就越大。

文艺复兴时期的赌徒卡达诺，之后的几何学家帕斯卡和律师费马，丹尼尔·伯努利和他的叔叔雅各布，少言寡语的高斯，幽默的冯诺依曼和沉闷的摩根斯坦，虔诚的教徒棣莫弗和不可知论者奈特，言简意赅的布莱克和喋喋不休的斯科尔斯，阿罗和马科维茨——他们帮助人们转变了对风险的理解，从损失的可能转变为盈利的机会，从命运和上天设计转变为对未来以概率为根据的预测，从无助转变为选择。如何认识风险、衡量风险以及权衡其带来的后果，让未来服务于当下。

二、希腊式逻辑难成概率思维

虽然埃及人精通天文学，能够预测尼罗河水涨落的时间，但是他们可能从来没有想过要管理或影响未来。变革并不是他们思维体系的一部分，他们尊重过去，他们的思维已经被习惯、周期性的事物所统治。

在一个社会将风险概念纳入自己的文化之前，人们对于未来的态度必须发生改变。一直到文艺复兴时期，人们仍然认为未来仅仅是机遇造成的，或者是随机事件的结果，他们的大部分决定全凭直觉而定。当生活状况与自然界有非常紧密的关系时，人类并没有多少控制的余地。只要生存的需要仍将人类限制于最基本的活动之中，人类就无法控制环境。当然，在这个环境中人类是有能力影响自己所决定的结果的，因为未来的不可预测性，省下来的一便士和挣来的一便士有本质上的不同。

在解释万物的起源时，希腊神话中以一个巨大的赌局来解释现在科学家们都称之为“宇宙大爆炸”的东西：三个兄弟为分配宇宙而掷骰子，主神宙斯赢得了天堂，海神波塞冬赢得了海洋，而输家冥王哈迪斯则成为地狱总管。

尽管希腊人强调理论的重要性，但是他们对将理论应用于技术，从而改变和管理未来却毫无兴趣。希腊人相信星空中的科学，因为各种星体极其有规律地在它们确定的位置出现。风暴造成的巨大破坏是引起当时人们注意风险管理的唯一原因：诗人和歌剧家们反复地歌颂人们对风的依赖。只有当人们认为自己已经达到某种程度的解放时，风险管理的观念才会出现。当人们对于未来的思索成为一种常态化的行为和信念时，未来才似乎不再像以前那么不可预知了。

希腊精神的独特品质是他们对证明的重视。他们更关心“为什么”而不是“是什么”。他们拒绝接受没有根据的表面价值，对个例不感兴趣，他们的目标是能找到一种观念，这种观念能应用到任何地方、任何事物之中。例如，仅仅通过度量就能证实直角三角形斜边的平方等于另两边平方之和，不论大小，所有的直角三角形都遵循这个原则，无一例外。证明是欧几里德的几何学的全部。证明而不是计算会对数学理论永远起支配作用。希腊人没有发现概率法则，没有发现微积分，甚至没能发现简单的代数学，这和他们不得不依赖于以字母为基础的笨拙的希腊字母数字体系有关，基于这个数字体系是无法进行计算的。

没有数字，就不会有几率，也不会有概率。没有几率和概率，风险管理就无从谈起了。大约在公元前450年，希腊人发明了一种字母数字体系。这个体系由希腊字母表中的24个字母组成。从1～9的每个数字都有相应的字母，每个10的倍数有一个字母。但是当用这些字母进行加、减、乘、除运算时，会遇到极大的困难。计算主要通过算盘等方法进行，这些数字的替代物仅仅能作为记录计算结果的工具，同样的问题也困扰了后来的罗马人。

三、概率起源于文艺复兴的赌桌

人类总是容易沉溺于赌博，因为我们在赌博中直接面对命运，没有任何的障碍。亚当˙斯密把这种动机定义为“绝大多数人对自己的能力和对自己会交好运的过分自负”。尽管斯密敏锐地意识到人类喜欢承受风险的倾向有利于促进经济的发展，但他仍然担心，当这种倾向失去控制时，会对社会造成不利的影响。所以他将人的道德情感与自由市场的益处仔细地进行权衡。

但是如果人们对自己的好运气都缺乏信心，整个世界将变得毫无生气。凯恩斯不得不承认“如果人的本性对于碰运气毫无兴趣，仅仅依靠冷静地计算的话，就没有人会进行过多的投资活动”。如果预期的结果是失败，没有人会去承受风险。当计划经济试图通过政府命令和计划策略将不确定性完全消除时，同时也就抑制了社会和经济的发展。

如果人们得不到非人类的神明和随机事件的怜悯，面对一个未知的未来，他们再也不能保持被动，而只能在更大的范围内，用比以前更长的时间来做出决策。随着这种选择和决策的不断开放，人们逐渐意识到未来不仅提供危险，同样也提供机遇，人们开始意识到它是开放的，充满了机会。时间是赌博中的决定性因素。风险和时间是同一事物两个方面，因为如果没有明天，就不会有风险。时间会改变风险，风险的本质是由时间的范围来塑造的。

在西方，数字的故事开始于1202年斐波那契的《算盘书》。书中斐波那契运用印度－阿拉伯数字体系完成了所有的计算，包括所有的数字和分数、比例原则、平方根和更高次方根的抽取，甚至可以看到线性方程式和二次方程式的解决方法。阿拉伯数字体系是在十字军东征圣地时由阿拉伯数学家引进到西方的。《算盘书》中提出最著名的斐波那契数列，1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…，即每个连续的数字是前两个数字之和。将任何一个斐波那契数列中的数除以它后面的数，数字3后的结果总是0.625，数字89后的结果总是0.618；数字越大，小数位越多。用数字2之后的任何数除以它前的数，其结果总是 1.6，在144之后，其结果总是1.618，即“黄金分割”比例。用斐波那契数例画出的螺旋其形态独立于成长，虽然螺旋越来越大，但是结构一直何持原形态，没有任何改变。斐波那契数列在交易中有着广泛的运用。《算盘书》还提出了复式记账方法的想法，在1494年出版的帕奇奥利的《数学全书》中得到更加详细地阐述。

希腊人对做实验并不感兴趣，他们只关注理论和证明。他们显然没考虑过通过复制某种现象足可以证实某种假设，这大概是因为他们认为日常事务是按部就班的。到了文艺复兴时期，希腊哲学被彻底颠覆了，从科学家到探险家，从画家到建筑师，人人都热衷于调查、实验和论证。经常玩骰子的人也对其出现的规律性产生了好奇。

卡达诺是文艺复兴时期的典型人物，也是赌徒中的赌徒。其关于赌博的论文名叫《机会赌博之书》（1545年左右），通过掷骰子实验方式开始，最终以理论概念的结合收尾，是人们第一次认真努力地去研究概率的统计原理。

如前面所说的一对从未解决的矛盾，概率总是有两层含义，一种代表未来，另一种阐述过去；一个有关我们的看法，另一个有关我们知道的事实。概率的第一层含义是指对信念的认知程度，或是我们对被告知的事物能够认知多少。即所谓“认识论”的含义，人类的知识是有限的，不能分析所有的事物。衡量概率的想法是在后来才出现的，所以第二种含义出现的时间比第一种晚得多。这种含义是随着时间的推移从实证的思想中发展而来的。直到数学家们对过去的事件出现的频率有了理论的解解之后，有关概率更新颖的观点才浮出水面。为了能够在赌桌上取胜，卡达诺探寻了许多方法，但在书中，他表达了理论家们一贯的悲叹：“…这些事实能用于理论的理解，不能用于实际的赌博。”

虽然真正英雄不是卡达诺，而是他所处的时代。能够得出卡达诺所研究成果的机会已经存在了几千年。但所缺乏的是自由的思想、动手实验的热情以及控制未来的欲望，而这些在文艺复兴时期全部被释放出来。

四、从概率度量到统计分析

度量和实质之间的平衡是整个风险故事的焦点。第一步是设计度量技术，它能用来决定在不确定的未来中多大程度地隐藏着有序的成分。到17世纪末，概率分析中的主要问题都被解决了。接下来的一步是解决人们如何认识概率，如何应对概率，这最终是有关风险管理及决策制定的重大问题。

系统化、理论化概率的衡量和以前根据可信度来做决定是截然不同的。起源于帕奇奥利关于分配筹码的老问题－在球类游戏中，两个势均力敌的参加者如何在游戏未结束时分配筹码？如果这个游戏继续进行下去，那么，先前游戏停止时领先的一方会有更大的概率来获得最终的胜利。但是那个领先者获胜的几率能多出多少呢？回答这个问题的思路是决策制定理论的开端，当我们不能确定将要发生什么事情时而决定做些什么，做出决策是风险管理的必要的第一步。无数赌徒的经历表明风险管理的历史是一个同时充满悲伤和欢乐的历史。

1. 帕斯卡和费马：概率的度量

17、18世纪时，特别是在法国，数学革新得到了真正的爆发，这远远超越了卡达诺的凭经验掷骰子的实验。在计算和代数学方面的进步致使大量抽象概念产生，而这为概率的许多实际应用奠定了基础。法国人在概率分析方面有了长足的进步，主要人物是帕斯卡和费马。

1654 年帕斯卡和费马在这个科目上的合作标志着数学和概率史上划时代事件的到来。费马和帕斯卡有关分配筹码的解决办法，长期以来被用来支付社会福利，它也是现代保险和其他形式的风险管理的基石。他们从不同的角度研究这个问题。费马从纯数学的角度（二项式定理）来进行研究，帕斯卡则更加创新些，他用几何模型来表述基础的代数结构，帕斯卡三角形，从1开始每个数字是上一行其两肩的数字之和。1662年帕斯卡出版了一本重要的著作《逻辑或思维的艺术》，他提出人们对暴雷的不正常恐惧，“对于受伤的恐惧不仅与受伤害的程度成比例关系，而且还与受到伤害的可能性有关”，程度和可能性都会影响决策。

2. 抽样调查和人口研究

另一方面，我们不得不基于有限的数据来制定决策，如果没有抽样调查，绝大多数重要决策是难以制定的。抽样调查对于风险承担来说是很重要的，我们总是用过去和现在的样例来猜测未来的事件。1660年，英国人葛兰特发表了他经过精心研究而概括出的人口统计数据，这个数据是他研究伦敦当地教堂保存的死亡记录的统计样本后得出来的。

虽然所得到的数据仅仅是伦敦全部出生和死亡数目的一小部分，但是这并没能阻止葛兰特从所有的数据中得出一般性的结论。葛兰特将原始的数据进行系统的论述，他分析数据的方式奠定了统计科学的基础。他的分析方法现在被称为“统计推论”。指的是从一部分样本数据中推断出对整体的估计。“统计学”这个词就来源于对国家大量事实的分析。后来的统计学家们解决了如何计算估计值和真实值之间可能的误差问题。通过这种开创式的工作，葛兰特将收集信息的简单过程转变为一种用于释义不确定性的复杂而强有力的工具。

葛兰特的研究之后30年哈雷出版了对西里西亚的布雷斯劳城的人口研究，并制定了生命表格。哈雷的整个分析体现了概率的概念，他的工作后来促成了在欧洲大陆上进行关于预期寿命计算的重要工作。英国政府从荷兰人利用年金作为融资工具中得到启示，他们开始试图通过销售年金来募集百万英镑，14年后再把最初的本金还给购买者。保险业在葛兰特和哈雷发表其研究成果的时候迅速发展并不是一个巧合，而是一个时代的信号，在这个时代中，商业和金融业的创新正在繁荣发展。在英文中，股票经纪人（stockbroker），或者股票从业者（stock jobber）这个词第一次出现是在1688年左右。100年后，人们才开始在纽约华尔街的梧桐树旁交易股票。1693年12月，英国国会通过发行百万英镑的年金，开始了英国国债的历史。

棣莫弗的曲线图形使他计算出有关均值周围观察值离差的统计度量。这个度量现在被称为标准偏差，在判断一组观察实例中是否包含对整体（这组观察实例是整体的一部分）有足够代表性的样本时，标准偏差是非常重要的，在正常分布中，大约68％的观察值会在所有观察值均值的一个标准差的范围内变动，而95％的观察值会在均值的两个单位标准差范围内变动。棣莫弗在解决这些问题方面上的进步被列为数学领域最重要的成就之一。

贝叶斯是在这个领域有着重要贡献的另一位数学家。他的一篇名为《解决机会学说中一个问题的文章》的论文非常杰出新颖，引人瞩目。这篇文章探讨了这样一个问题：已知未知事件发生和失败的次数，求某一次发生的概率值在两个可知的概率值之间的概率。

庞加莱还指出有些事情看起来像是偶然的其实不是，它们的起因源于微小的干扰。一个完美地保持平衡于定点的圆锥体，如果在对称上哪怕是最小的缺陷都会使其倒塌；即使没有缺陷，“一个轻微的颤动或是一丝微风”也会令其倒塌。甚至**赌的旋转和骰子的投掷都会因为使他们运转起来的力量的些微差异而不同。因为我们不能观察到这些微小的差异，所以我们假定它们所产生的结果是随机的、不可预测的，这些观点类似于现代的混沌理论。

我们能够收集大块的信息和小块的信息，但我们绝不可能收集所有的信息，我们不能确切地知道我们的样本代表性如何。不确定性使得做出判断是如此困难，而且根据判断行事是如此冒险。我们甚至不能肯定明天的太阳是否升起——古人们自己也只是根据宇宙历史中有限的样本进行预测的。

2. “完全市场”能促进冒险？

以拉普拉斯和庞加莱为代表的一方与以阿罗和其同时代的人为代表的另一方之间存在一条鸿沟。在第一次世界大战的灾难过后，人们不再幻想人类总有一天会知道一切需要知道的事情，也不再幻想确定性总有一天会取代不确定性，反之，这些年知识的爆炸却使得生活更加不确定，世界更加难于理解。

在我们努力应付我们面对的不确定性和承担的风险时，归纳性推理使我们得出一些奇特的结论。这方面给人印象最深刻的是诺贝尔奖获得者肯尼斯？阿罗进行的研究。很早，阿罗就确信大多数人都高估了他们能够获得的信息量。在一篇关于风险的论文中，阿罗问道，为什么我们大多数人会时不时地赌博，还有为什么我们会定期付给保险公司保险费？概率演算表明在这两个例子中我们都会损失钱。

BS 期权公式的第一个要素是期权到期前的时间段，到期时间长的期权比到期时间短的期权更有价值。第二个要素是股票的当前价格和期权合约中规定的持有者买卖股票特定价格的差额，也就是行权价格。第三个要素是买家在等待执行期权期间所得的利息以及期权的卖家在同期潜在的资产收益。

真正重要的是第四个要素，潜在资产的预期变动性。重要的是股票价格变化的程度而不是变化的方向。价格变动的方向与期权价格无关的观点极其违反直觉，这是由于期权本身的不对称的特殊的原因：投资者的潜在损失仅限于购买期权的费用，而潜在收益却是无限的。

七、风险的故事仍在继续

伟大的统计学家莫里斯·肯德尔曾写道：“人类并没有从神圣的上帝手中夺到社会的控制权……而是把它置于机会法则的支配之下。”远瞻未来的一千年，我们能够完成这项工作，同时希望能够控制更多的风险并且取得进步，这样的前景会是怎样的呢？

这个答案必须要看莱布尼茨1703年的训诫，他的训诫今天来看仍然和他当初寄给雅各布·伯努利时一样的中肯：“在事件的反复中，大自然已经建立了它的模式，但仅仅是针对大部分而言。”条件限制是整个故事的关键，如果没有条件限制，就不会有风险，因为一切都可以预测。如果没有条件限制，就不会有变化，因为一切事件都会和以前的事件完全一样。如果没有条件限制，生活就不会有神秘。

伯努利和爱因斯坦都是对自然界行为有兴趣的科学家，但是人类必须与某种超越自然模式的事物—他们自己的行为作斗争。事实上，随着文明的发展，大自然的反复无常已经不那么重要，反而是人类的决定更加至关重要。

对于大多数都生活在文艺复兴晚期、启蒙运动或是维多利亚时代的人来说，他们考虑自然界方面的概率问题，并且设想人类行为和他们所发现的大自然一样，具有同等程度的规律性和可预测性。直到20世纪奈特和凯恩斯的出现，人类之间越来越强的相互依赖才成为各位革新者们的关注焦点。不确定性是奈特和凯恩斯洞悉人类本性中的不理性的结果。

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