第1课时　动量守恒定律

[学习目标]　1.会选择合适的力学系统，能准确区分内力和外力.2.能用牛顿运动定律推导出动量守恒表达式.3.能在具体问题中判断动量是否守恒，并熟练运用动量守恒定律解释生产生活中的有关现象.4.能用动量守恒定律分析和解决实际问题．

一、系统、内力与外力

1．系统：两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个系统．

2．内力：系统内物体间的作用力．

3．外力：系统外部其他物体对系统的作用力．

二、动量守恒定律的推导

如图所示，在光滑的水平桌面上质量为m2的B物体追上质量为m1的A物体，并发生碰撞，设A、B两物体碰前速度分别为v1、v2(v2>v1)，碰后速度分别为v1′、v2′，碰撞过程中B对A的作用力是F1，A对B的作用力是F2，碰撞时间很短，设为t.

根据动量定理：

对A：F1t＝m1v1′－m1v1①

对B：F2t＝m2v2′－m2v2②

由牛顿第三定律F1＝－F2③

由①②③得两物体总动量关系为：

m1v1′＋m2v2′＝m1v1＋m2v2

三、动量守恒定律

1．内容：物体在碰撞时，如果系统所受合外力为零，则系统的总动量保持不变．

2．表达式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′.

3．条件：整个系统受到的合外力为零或在某个方向为零，系统总动量或该方向的动量分量就守恒．

1．判断下列说法的正误．

(1)一个系统初、末状态动量大小相等，即动量守恒．(　×　)

(2)两个做匀速直线运动的物体发生碰撞瞬间，两个物体组成的系统动量守恒．(　√　)

(3)系统动量守恒也就是系统总动量变化量始终为零．(　√　)

(4)只要系统内存在摩擦力，动量就一定不守恒．(　×　)

2．如图所示，游乐场上，两位同学各驾驶一辆碰碰车迎面相撞，此后，两车以共同的速度运动．设甲同学和他的车的总质量为120 kg，碰撞前水平向右运动，速度的大小为5 m/s；乙同学和他的车的总质量为180 kg，碰撞前水平向左运动，速度的大小为4 m/s.则碰撞后两车共同的运动速度大小为________，方向________．

答案　0.4 m/s　水平向左

解析　本题的研究对象为两辆碰碰车(包括驾车的同学)组成的系统，在碰撞过程中此系统的内力远远大于所受的外力，外力可以忽略不计，满足动量守恒定律的适用条件．设甲同学的车碰撞前的运动方向为正方向，他和车的总质量m1＝120 kg，碰撞前的速度v1＝5 m/s；乙同学和车的总质量m2＝180 kg，碰撞前的速度v2＝－4 m/s.设碰撞后两车的共同速度为v，则系统碰撞前的总动量为：p＝m1v1＋m2v2

＝120×5 kg·m/s＋180×(－4) kg·m/s

＝－120 kg·m/s.

碰撞后的总动量为p′＝(m1＋m2)v.

根据动量守恒定律可知p＝p′，

代入数据解得v＝－0.4 m/s，

即碰撞后两车以0.4 m/s的共同速度运动，运动方向水平向左．

一、动量守恒定律的理解

导学探究

冰壶是冬奥会比赛项目．如图所示，若运动员和冰壶在水平冰面上做匀速直线运动，此后运动员把冰壶平稳推出．不计冰面的摩擦，在运动员把冰壶推出去的过程中，试思考以下问题：

1．运动员和冰壶分别受到哪些力的作用？对于运动员和冰壶组成的系统，哪些是内力，哪些是外力？

答案　运动员受到自身的重力、地面的支持力和冰壶对她的作用力；冰壶受到自身的重力、地面的支持力和运动员对它的作用力；对于运动员和冰壶组成的系统，运动员和冰壶间的作用力为内力，重力和支持力为外力．

2．在此过程中，冰壶的动量是否守恒？为什么？

答案　不守恒，因为冰壶受到运动员对它的作用力，合外力不为零，其动量会发生变化．

3．在此过程中，运动员和冰壶组成的系统动量是否守恒？为什么？

答案　守恒，因运动员和冰壶组成的系统所受合外力为零，其总动量保持不变．

知识深化

1．研究对象：相互作用的物体组成的系统．

2．动量守恒定律适用的条件

(1)理想守恒：系统不受外力或所受合外力为零．

(2)近似守恒：系统所受合外力不为零，但内力远远大于外力，此时动量近似守恒．

(3)某一方向守恒：系统所受合外力不为零(整个系统动量不守恒)，但在某一方向上合外力为零(或某一方向上内力远远大于外力)，则可认为系统在该方向上动量守恒．

3．动量守恒定律的几个特性

(1)条件性：动量守恒定律的成立是有条件的，即系统所受合外力为零，应用时一定要先判断系统是否满足守恒条件．

(2)矢量性：动量守恒定律的表达式是一个矢量式，总动量在相互作用前后不仅大小相等，方向也相同．在求初、末状态系统的总动量时，要按矢量运算法则计算．如果各物体动量的方向在同一直线上，可选取正方向，确定各速度的正、负(表示方向)后，将矢量运算转化为代数运算．

(3)相对性：在动量守恒定律中，系统中各物体在相互作用前后的动量必须相对于同一惯性参考系，一般取相对地面的速度．

(4)普适性：动量守恒定律不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于低速宏观物体组成的系统，也适用于高速(接近光速)微观粒子组成的系统．

例1　在下列几种现象中，所选系统动量守恒的是(　　)

A．在光滑水平面上，运动的小车迎面撞上一静止的小车，以两车为一系统

B．运动员将铅球从肩窝开始加速推出，以运动员和铅球为一系统

C．从高空自由下落的重物落在静止于地面上的车厢，以重物和车厢为一系统

D.光滑水平面上放一个表面光滑的斜面体，一个物体沿斜面滑下，以物体和斜面体为一系统

答案　A

解析　两车组成的系统受到的合外力为零，故动量守恒，A正确；人与铅球组成的系统初动量为零，末动量不为零，B错误；重物和车厢组成的系统的末动量为零而初动量不为零，C错误；在物体沿斜面下滑时，向下的动量增大，D错误．

针对训练1　下图所反映的物理过程中，系统动量守恒的是(　　)

A．只有甲和乙 B．只有丙和丁

C．只有甲和丙 D．只有乙和丁

答案　C

解析　甲图中，在光滑水平面上，子弹水平射入木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒．丙图中两球匀速下降，说明两球组成的系统在竖直方向上所受的合外力为零，细线断裂后，两球组成的系统动量守恒，它们在水中运动的过程中，两球整体受力情况不变，遵循动量守恒定律．乙图中系统受到墙的弹力作用，丁图中斜面是固定的，乙、丁两图所示过程系统所受合外力不为零，动量不守恒，故只有甲、丙正确，即C正确．

例2　如图所示，A、B两物体的质量比mA∶mB＝4∶3，它们原来静止在足够长的平板车C上，A、B间有一根被压缩了的弹簧，地面光滑．当弹簧突然释放后，且已知A、B组成的系统动量守恒．则有(　　)

A．A、B与C的动摩擦因数相等

B．A、B与C的动摩擦因数不相等

C．最终稳定时小车向右运动

D．A、B、C系统动量不守恒

答案　B

解析　A、B组成的系统动量守恒，则A、B两物体所受的摩擦力应该大小相等、方向相反，系统所受合外力才为0，因为A、B质量不相等所以动摩擦因数不相等，A错误，B正确；A、B、C三物体所组成的系统所受合外力为0，动量守恒，最终稳定时，三个物体应该都处于静止状态，C、D错误．

系统动量是否守恒的判定方法

1．选定研究对象及研究过程，分清外力与内力．

2．分析系统受到的外力矢量和是否为零，若外力矢量和为零，则系统动量守恒；若外力在某一方向上合力为零，则在该方向上系统动量守恒．系统动量严格守恒的情况很少，在分析具体问题时要注意把实际过程理想化．

3．除了利用动量守恒的条件判定外，还可以通过实际过程中系统各物体在各方向上总动量是否保持不变来进行直观的判定．

二、动量守恒定律的应用

导学探究

如图所示，A、B两个大小相同、质量不等的小球放在光滑水平地面上，A以3 m/s的速率向右运动，B以1 m/s的速率向左运动，发生碰撞后，试分析：

(1)A、B两小球都以2 m/s的速率向右运动，A、B的质量满足什么关系？

(2)A、B两小球都以2 m/s的速率反弹，A、B质量满足什么关系？

答案　取水平向右为正方向

(1)vA＝3 m/s，vB＝－1 m/s

vA′＝2 m/s，vB′＝2 m/s

根据动量守恒定律

mAvA＋mBvB＝mAvA′＋mBvB′

得mA∶mB＝3∶1

(2)vA″＝－2 m/s，vB″＝2 m/s

根据动量守恒定律

mAvA＋mBvB＝mAvA″＋mBvB″

得mA∶mB＝3∶5.

知识深化

1．动量守恒定律的常用表达式

(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′：相互作用的两个物体组成的系统，作用前动量的矢量和等于作用后动量的矢量和．

(2)Δp1＝－Δp2：相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量大小相等、方向相反．

(3)Δp＝0：系统总动量增量为零．

2．应用动量守恒定律解题的步骤

例3　一辆平板车沿光滑水平面运动，车的质量m＝20 kg，运动速度v0＝4 m/s，求下列情况下车稳定后的速度大小：(不计空气阻力)

(1)一个质量m′＝2 kg的沙包从5 m高处由静止释放，落入车内；

(2)将一个质量m′＝2 kg的沙包以5 m/s的速度迎面扔入车内．

答案　见解析

解析　(1)竖直下落的沙包在水平方向上速度为零，动量为零，系统在水平方向上受力为零，动量守恒，取v0的方向为正方向，由动量守恒定律得

mv0＝(m＋m′)v′，解得v′＝ m/s.

(2)取v0的方向为正方向，由动量守恒定律得mv0－m′v＝(m＋m′)v″，解得v″＝ m/s.

例4　将两个完全相同的磁铁(磁性极强)分别固定在质量相等的小车上，水平面光滑．开始时甲车速度大小为3 m/s，方向向右，乙车速度大小为2 m/s，方向向左并与甲车速度方向在同一直线上，如图所示．

(1)当乙车速度为零时，甲车的速度多大？方向如何？

(2)由于磁性极强，故两车不会相碰，那么两车的距离最近时，乙车的速度是多大？方向如何？

答案　(1)1 m/s　方向向右

(2)0.5 m/s　方向向右

解析　两个小车及磁铁组成的系统在水平方向不受外力作用，系统动量守恒，取向右为正方向．

(1)v甲＝3 m/s，v乙＝－2 m/s

由动量守恒定律得：mv甲＋mv乙＝mv甲′，代入数据解得v甲′＝1 m/s，方向向右．

(2)两车的距离最近时，两车速度相同，设为v′，

由动量守恒定律得：mv甲＋mv乙＝2mv′

解得v′＝0.5 m/s，方向向右．

考点一　对动量守恒条件的理解

1.如图所示，两带电的金属球在绝缘的光滑水平面上沿同一直线相向运动，A带电荷量为－q，B带电荷量为＋2q，下列说法正确的是(　　)

A．相碰前两球运动中动量不守恒

B．相碰前两球的总动量随距离的减小而增大

C．两球相碰分离后的总动量不等于相碰前的总动量，因为碰前作用力为引力，碰后为斥力

D．两球相碰分离后的总动量等于相碰前的总动量，因为两球组成的系统所受合外力为零

答案　D

解析　将两球看成整体分析，整体受重力、支持力，水平方向不受外力，故系统整体动量守恒，所以两球相碰分离后的总动量等于碰前的总动量．故选D.

2．(多选)如图所示，小车静止放在光滑的水平面上，将系着轻绳的小球拉开一定的角度，然后同时放开小球和小车，不计空气阻力，那么在以后的过程中(　　)

A．小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统动量守恒

B．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统在水平方向上动量守恒

C．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车的速度不为零

D．在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反(或者都为零)

答案　BD

解析　以小球和小车组成的系统为研究对象，在水平方向上不受外力的作用，所以系统在水平方向上动量守恒．由于初始状态小车与小球均静止，所以小球与小车在水平方向上的动量要么都为零，要么大小相等、方向相反，所以B、D正确．

3.如图所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触面是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，则下列说法中正确的是(　　)

A．从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的全过程中，子弹与木块组成的系统动量守恒

B．子弹射入木块的短暂过程中，子弹与木块组成的系统动量守恒

C．从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的全过程中，子弹、木块和弹簧组成的系统动量守恒

D．若水平桌面粗糙，子弹射入木块的短暂过程中，子弹与木块组成的系统动量不守恒

答案　B

解析　从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的全过程中，由于弹簧对子弹和木块组成的系统有力的作用，所以子弹与木块组成的系统动量不守恒，子弹、木块和弹簧组成的系统由于受到墙壁的弹力作用，动量不守恒，故A、C错误；子弹射入木块瞬间，弹簧仍保持原长，子弹和木块组成的系统所受合外力为零，所以系统动量守恒，故B正确；若水平桌面粗糙，子弹射入木块的短暂过程中，由于内力远远大于外力，所以子弹与木块组成的系统动量守恒，故D错误，B正确．

考点二　动量守恒定律的应用

4.如图所示，一平板车停在光滑的水平面上，某同学站在小车上，他设计的下列操作方案中，最终能使平板车持续地向右驶去的是(　　)

A．该同学在图示位置用大锤连续敲打车的左端

B．只要从平板车的一端走到另一端即可

C．在车上装个电风扇，不停地向左吹风

D．他站在车的右端将大锤丢到车的左端

答案　C

解析　把人和车看成整体，用大锤连续敲打车的左端，根据动量守恒定律可知，系统水平方向的总动量为零，车不会持续地向右驶去，故A错误；人从平板车的一端走到另一端的过程中，系统水平方向不受外力，动量守恒，系统总动量为零，车不会持续地向右驶去，故B错误；电风扇向左吹风，电风扇会受到一个向右的反作用力，从而使平板车持续地向右驶去，故C正确；站在车的右端将大锤丢到车的左端的过程中，系统水平方向不受外力，动量守恒，系统总动量为零，车不会持续地向右驶去，故D错误．

5．光滑水平桌面上有A、B两个物块，B的质量是A的n倍．将一轻弹簧置于A、B之间，用外力缓慢压A、B.撤去外力后，A、B同时开始运动，则A和B最终动量大小的比值为(　　)

A．n2 B．n C. D．1

答案　D

解析　在光滑水平桌面上，摩擦力为零，撤去外力后A、B组成的系统所受外力之和为零，所以系统总动量守恒，A、B物块的动量大小相等，方向相反，因此A和B的最终动量大小的比值为1，D选项正确．

6.如图所示，光滑水平面上有一辆质量为4m的小车，车上左、右两端分别站着甲、乙两人，他们的质量都是m，开始时两个人和车一起以速度v0向右匀速运动．某一时刻，站在车右端的乙先以相对地面向右的速度v跳离小车，然后站在车左端的甲以相对于地面向左的速度v跳离小车．两人都离开小车后，小车的速度大小将是(　　)

A．1.5v0 B．v0

C．大于v0，小于1.5v0 D．大于1.5v0

答案　A

解析　两人和车组成的系统开始时动量为6mv0，方向向右．当乙、甲两人先后以相对地面大小相等的速度向两个方向跳离时，甲、乙两人动量的矢量和为零，则有6mv0＝4mv车，解得v车＝1.5v0，A正确．

7．质量为M的木块在光滑水平面上以速度v1水平向右运动，质量为m的子弹以速度v2水平向左射入木块，要使木块停下来，必须使发射子弹的数目为(子弹留在木块中不穿出)(　　)

A. B.

C. D.

答案　C

解析　设发射子弹的数目为n，n颗子弹和木块组成的系统在水平方向上所受的合外力为零，满足动量守恒的条件．选子弹运动的方向为正方向，由动量守恒定律有：nmv2－Mv1＝0，得n＝，故C正确．

8.(多选)(2022·衡水市梁集中学高二第一次调研)我国女子短道速滑队在世锦赛上实现女子3 000 m接力三连冠．如图所示，观察发现，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲一把，使甲获得更大的速度向前冲出．在乙推甲的过程中，忽略运动员与冰面间在水平方向上的相互作用，则(　　)

A．甲对乙的冲量一定与乙对甲的冲量相同

B．相互作用的过程中甲与乙组成的系统满足机械能守恒定律

C．相互作用的过程中甲与乙组成的系统满足动量守恒定律

D．甲、乙的动量变化一定大小相等、方向相反

答案　CD

解析　甲对乙的作用力与乙对甲的作用力等大反向，她们的冲量也等大反向，故A错误．由于乙推甲的过程，其他形式的能转化为机械能，故机械能不守恒，B错误．甲、乙相互作用的过程，系统水平方向不受外力的作用，竖直方向所受合外力为零，故系统的动量守恒，此过程甲的动量增大，乙的动量减小，二者动量的变化大小相等、方向相反，故C、D正确．

9.(多选)如图所示，一个质量为M的木箱静止在光滑水平面上，木箱内粗糙的水平底板上放着一个质量为m的小木块．现使木箱获得一个向右的初速度v0，则(　　)

A．小木块最终将相对木箱静止，二者一起向右运动

B．小木块和木箱最终速度为v0

C．小木块与木箱内壁将始终来回往复碰撞，而木箱一直向右运动

D．如果小木块与木箱的左壁碰撞后相对木箱静止，则二者将一起向左运动

答案　AB

解析　木箱与小木块组成的系统水平方向不受外力，故系统水平方向动量守恒，最终二者以相同的速度一起向右运动，取v0的方向为正方向，由动量守恒定律：Mv0＝(M＋m)v，解得：v＝，A、B正确，C、D错误．

10.两个小木块B、C中间夹着一根轻弹簧，将弹簧压缩后用细线将两个木块绑在一起，使它们一起在光滑水平面上沿直线运动，这时它们的运动图线如图中a线段所示，在t＝4 s末，细线突然断了，B、C都和弹簧分离后，运动图线分别如图中b、c线段所示，从图中的信息可知(　　)

A．木块B、C都和弹簧分离后的运动方向相反

B．木块B、C都和弹簧分离后，系统的总动量增大

C．木块B、C分离过程中B木块的动量变化较大

D．木块B的质量是木块C质量的

答案　D

解析　由s－t图像可知，位移均为正，两木块均朝一个方向运动，没有反向，A错误；木块都与弹簧分离后，B的速度为v1＝ m/s＝3 m/s，C的速度v2＝ m/s＝0.5 m/s，细线断前B、C的速度均为v0＝1 m/s，由于系统所受外力的矢量和为零，故系统的动量守恒，(mB＋mC)v0＝mBv1＋mCv2，得B、C质量比为1∶4，B错误，D正确；系统动量守恒，则系统内两个木块的动量变化量等大反向，C错误．